Question

定义在R上的函数fx满足当x>0时fx>1，且对任意x，y属于R，有f（x+y）=f（x）乘f（y），f（1）=2。

求证对任意x属于R，都有fx＞0。解不等式f（3-x平方）＞4

Answer 1

第一小问：f(0+1)=f(0)*f(1),所以f(0)=1
对任意的x<0,令y=x+1,则y>0且x+y=1,由f(x+y)=f(x)*f(y)得f(x)>0,
又显然当x>0时f(x)>0,所以综上对任意x属于R，f(x)>0,
第二小问：f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)=4,
设任意x1<x2,令x2=x1+m,则m>0,所以f(m)>1,
所以f(x2)=f(x1+m)=f(x1)*f(m)>f(x1),
所以对任意x1<x2,有f(x1)<f(x2),
所以f(x)在R上单调递增,
又因为f(2)=4,
所以3-x^2>2,
所以x^2<1,
所以-1<x<1
综上所述：｛x|-1<x<1}