Question

已知1/3≤a≤1,若函数f(x)=ax^2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)

1.求g(a)的函数解析式
2.判断函数g(a)在区间【1,3】上的单调性，并求出g（a）的最小值
第一问网上有很多，主要解决第二问

Answer 1

1。根据f(x)的开口方向、对称轴在区间[1,3]的位置，结合单调性性质知M(a)=max{f(1)，f(3)}，N(a)=f(1/a)当1/3≤a≤1/2时，g(a)=M(a)-N(a)=f(3)-f(1/a)，即g(a)=9a+(1/a)-6当1/2<a≤1时，g(a)=M(a)-N(a)=f(1)-f(1/a)，即g(a)=a+(1/a)-2
2，g´(a)=1-(1/a^2),令g´(a)=0,则a=1或-1,因为 1/3≤a≤1,所以在 1/3≤a≤1上单调递减,所以最小值在a=1处取,即g(a)min=g(1)=0

追问

额，我怎么算到一个增一个减啊，算到0和2没舍掉2扣积分啊（满分12分）

Answer 2

1。根据f(x)的开口方向、对称轴在区间[1,3]的位置，结合单调性性质知M(a)=max{f(1)，f(3)}，N(a)=f(1/a)
当1/3≤a≤1/2时，g(a)=M(a)-N(a)=f(3)-f(1/a)，即g(a)=9a+(1/a)-6
当1/2<a≤1时，g(a)=M(a)-N(a)=f(1)-f(1/a)，即g(a)=a+(1/a)-2

2。这个问题有些矛盾：前面约束了1/3≤a≤1，而问题又要讨论g(a)在区间【1,3】上的单调性。可能条件有误。

追问

x在1,3间的

追答

可是函数g(a)在这里跟x没关系啊

追问

好吧，那请你把g（a）的单调性和最小值求出来吧，用你求的那个分段函数

追答

当1/3≤a≤1/2时g(a)=9a+(1/a)-6，则有g'(a)=9-(1/a^2)>0，所以g(a)在区间[1/3，1/2]上为增函数
当1/2<a≤1时g(a)=a+(1/a)-2，则有g'(a)=1-(1/a^2)<0，所以g(a)在区间[1/2，1]上为减函数
综上，函数g(a)在区间[1/3，1]上无单调性，但区间[1/3，1/2]上为增函数，在区间[1/2，1]上为减函数

当1/3≤a≤1/2时，g(a)=9a+(1/a)-6≥2√[(9a)*(1/a)]-6=0（基本不等式），则g(a)min=0（a=1/3时取得）
当1/2<a≤1时，g(a)=a+(1/a)-2≥2√[a*(1/a)]-2=0（基本不等式），则g(a)min=0（a=1时取得）

综上，函数g(a)在区间[1/3，1]上最小值g(a)min=0

追问

谢谢。为什么同学全算到二分之一啊