Question

如图，在三角形ABC中AB等于AC，AD和BE是三角形的高，AD与BE相交于点H且AE等于BEqiu

求证AH等于2BD

Answer 1

证明：∵AB=AC，AD⊥BC,

∴BC=2BD，∠1+∠C=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2，
在△AEH和△BEC中

∠1=∠2

AE=BE

∠3=∠4=90°
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC，
∴AH=2BD．

Answer 2

∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形
∵AD是高
∴∠ADC=∠ADB=90°，且BD=DC=1/2BC(等腰三角形三线合一）
∵BE是高
∴ ∠BEC=∠AEB=90°
∵∠C+∠CAD=90°且∠C+CBE=90°
∴∠CEB=∠CAD(等量代换）
在△AHE与△BCE中
∠CAD=CBE （已证）
AE=BE(已知）
∠BEC=∠AEB(已证）
∴△AHE≌△BCE(ASA)∴AH=BC ∴BC=AH=2BD