Question

[线性代数]关于特征值，求行列式的值

设A是三阶方阵，如果已知|E+A|=0,|2E+A|=0,|E-A|=0,求出行列式|E+A+A方|的值.
能否给出求|E+A+A方|特征值的过程.

Answer 1

设s是A的特征值，x是A对应于s的特征向量，则
Ax = sx
(E＋A+A^2)x =x+ Ax +A^2x = x+sx + Asx=x + sx + s^2x = (1+s+s^2)x
所以1+s+s^2是E+A+A^2的特征值
由|E+A|=0,|2E+A|=0,|E-A|=0,可以知道A的特征值为1,-1,-2
所以E+A+A^2的对应的特征值为3, 1 , 3
所以|E+A+A^2| = 9