Question

矩阵A与B相似的充分必要条件是什么？

AB是任意矩阵，没有特别指明说AB是实对称矩阵或者可对角化，若需要可以将以上将其作为充分必要条件的一部分。

Answer 1

1、相似的定义为：对n阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称A、B相似。
2、从定义出发，最简单的充要条件即是：对于给定的A、B，能够找到这样的一个P，使得：
P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C，使得A和B均相似于C。
3、进一步地，如果A、B均可相似对角化，则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值。
4、再进一步，如果A、B均为实对称矩阵，则它们必可相似对角化，可以直接计算特征值加以判断（与2情况不同的是：2情况必须首先判断A、B可否相似对角化）。
5、以上为线性代数涉及到的知识，而如果你也学过矩阵论，那么A、B相似的等价条件还有：
设：A、B均为n阶方阵，则以下命题等价：
(1)A~B;
(2)λE-A≌λE-B
(3)λE-A与λE-B有相同的各阶行列式因子
(4)λE-A与λE-B有相同的各阶不变因子
(5)λE-A与λE-B有相同的初等因子组

追问

你第4条里括号里的，应该是跟3相比吧？

追答

抱歉，打字出现了失误，更正如下：第4条的情况是与第3条的情况进行比较得到的。

Answer 2

因为每个矩阵都相似于唯一一个其标准若尔当型，
那么只要他们的标准若尔当型相同（当然他们的若尔当块可适当调整位置），他们就相似。