Question

f(x)=-2x^2+4x-1,若0<m<n,且x属于[m,n]时,f(x)值域为[1/n,1/m],求m,n的值

Answer 1

f(x)=-2x^2+4x-1=-2(x-1)^2+1
∵-2(x-1)^2≤0
∴f(x)=-2(x-1)^2+1≤1
∴0<1/n<1/m≤1
∴1≤m<n
由于f(x)对称轴为x=1
所以f(x)在定义域内是单调递减的
∴f(m)=1/m
f(n)=1/n
即m,n是方程f(x)=1/x的两个大于等于1的不等根
化简方程得(x-1)(2x^2-2x-1)=0
使用求根公式分解得
2(x-1)(x-1-根号3)(x-1+根号3)=0
所以x1=1
x2=1+根号3
x3=1-根号3(舍去，因为小于1)
所以 m=1
n=1+根号3