Question

设定义在【a,b】(a≥-4)上的函数f(x),若g(x)=f(√(x+4)+2m)与f(x)的定义域与值域都相同,

则实数m的取值范围为?

Answer 1

f(x)的定义域为[a,b]
那么f[√(x+4)+2m)]中
有a≤√(x+4)+2m≤b （#）
∵两个函数的定义域，值域相同
∴（#）的解集为[a,b]
∵t=√(x+4)+2m在[-4,+∞)上递增
∴x=a时，t=a;x=b时，t=b
∴a=√(a+4)+2m
b=√(b+4)+2m
a,b满足x=√(x+4)+2m(-4≤a<b,x≥-4)
∴2m=x-√(x+4)
设√(x+4)=u≥0,x=u²-4
2m=u²-u-4=(u-1/2)²-17/4
必需有2个不同的u值对应同一个2m值
只有当 u∈[0,1/2)与u∈(1/2,1]对称取值
时，才符合题意。
∴2m∈(-17/4,0]
∴m∈(-17/8,0]

追问

根据图像,过定点(0,-4)
-17/4<2m<=-4
所以-17/8<m<=-2

追答

对，那天前面说的很清楚，但后面的范围是错了

只有当 u∈[0,1/2)与u∈(1/2,1]对称取值
时，才符合题意。
当u∈[0,1/2)时，2m∈(-17/4,-4]
∴-17/8<m<=-2