Question

不定积分公式推导

∫secx=ln|secx+tanx|+C

Answer 1

左边=∫dx/cosx=∫cosxdx/(cosx)^2
=∫d(sinx)/[1-(sinx)^2]
令t=sinx,
=∫dt/(1-t^2)
=(1/2)∫dt/(1+t)+(1/2)∫dt/(1-t)
=(1/2)∫d(1+t)/(1+t)-(1/2)∫d(1-t)/(1-t)
=(1/2)ln|1+t|-(1/2)ln|1-t|+C
=(1/2)ln|(1+t)/(1-t)|+C
=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C //在对数中分子分母同乘1+sinx,
=(1/2)ln|(1+sinx)^2/(cosx)^2|+C
=ln|(1+sinx)/cosx|+C
=ln|1/cosx+sinx/cosx|+C
=ln(secx+tanx|+C=右边，
∴等式成立。

追问

几步完成。
∫ secx dx
= ∫ secx * (secx + tanx)/(secx + tanx) dx
= ∫ (sec²x + secxtanx)/(secx + tanx) dx
= ∫ d(secx + tanx)/(secx + tanx)，或令u = secx + tanx
= ln|secx + tanx| + C
是否可以？
谢谢！

追答

可以，但如果不知道答案，想像是比较困难的，倒数第二步，凑积分要记住d(secx)^2=tanxdx,d(secxtanx)=d(secx),公式要记得比较多。

追问

超感谢！

追答

改成，凑积分要记住d(tanx)=(secx)^2dx,d(secx)=(secxtanx)dx,就像找全微分方程的积分因子一样，需要娴熟的技巧。

Answer 2

几步完成。
∫ secx dx
= ∫ secx * (secx + tanx)/(secx + tanx) dx
= ∫ (sec²x + secxtanx)/(secx + tanx) dx
= ∫ d(secx + tanx)/(secx + tanx)，或令u = secx + tanx
= ln|secx + tanx| + C