Question

如图，四边形ABCD为正方形

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA,QA=AB=1／2PD(1)证明：PQ⊥平面DCQ
答案如下：
解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ， 则PQ⊥QD
所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分
我的问题是：不明白DQ=PQ是怎么来的？请说详细，怎么证明出的是直角梯形？
么来的？请说详细，怎么证明出的是直角梯形

Answer 1

好几个人路过，没有回答，我来回答吧。

解：
先证明：PDAQ为直角梯形
因为PD⊥平面ABCD，AD为平面ABCD内的直线，所以PD⊥AD，又因为PD∥QA，所以PDAQ为直角梯形。 （两条边平行，有直角，符合直角梯形的性质）

下面说明DQ=PQ
四边形ABCD为正方形，则AB=AD
QA=AB=1／2PD 所以QA=AD=1／2PD
在直角梯形PDAQ中，取PD的中点，设为F点，连接QF，则显然得到QF⊥PD （这是因为DF=1／2PD =DA=AQ=FQ这是个正方形）
这样QF就是DP的中垂线
所以DQ=PQ

希望能够帮到你，给我满意答案哦。

Answer 2

∵PD⊥ABCD ∴∠PDA＝90º ∵QA∥PD ∴QA⊥ABCD ∠QAD＝90º QADP是直角梯形。
AD＝AQ ∴DQ＝√2AD
设T是DP中点，则AQTD是正方形，⊿QTP等腰直角，QP＝√2QT＝√2AD＝DQ,注意DP＝2AD
∴⊿DQP等腰直角 PQ⊥DQ 又CD⊥ADPQ﹙∵DC⊥PD CD⊥AD﹚ CD⊥PQ ∴PQ⊥DCQ.

Answer 3

∵PD⊥ABCD ∴∠PDA＝90º ∵QA∥PD ∴QA⊥ABCD ∠QAD＝90º QADP是直角梯形。
AD＝AQ ∴DQ＝√2AD
设T是DP中点，则AQTD是正方形，⊿QTP等腰直角，QP＝√2QT＝√2AD＝DQ,注意DP＝2AD
∴⊿DQP等腰直角 PQ⊥DQ 又CD⊥ADPQ﹙∵DC⊥PD CD⊥AD﹚ CD⊥PQ ∴PQ⊥DCQ.