Question

如图，RtΔABC中，∠BAC=90°,AB=AC=2，点D为BC边上的动点（D不与B、C重合），∠ADE=45°，DE交AC于点E

1、△ABD相似于△DCE
2、设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
3、当△ADE是直角三角形时，求AE的长（我做到这道题 ，至酸楚其中一个解AE=2）

Answer 1

1）因为等腰直角三角形ABC中，∠C=∠B=45°，
所以∠BAD+∠ADB=180-45=135°
因为∠ADE=45°
所以∠ADB+∠CDE=135°
所以∠BAD=∠CDE
因为∠B=∠C=45
所以△ABD∽△DCE

2）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2,由勾股定理，得，BC=2√2，
设BD=x,则CD=2√2-x
由上面相似，得，
BD/CE=AB/DC,
即x/CE=2/(2√2-x)
解得CE=(-1/2)x²+√2x，
y=AE=AC-CE=2-[(-1/2)x²+√2x]==(1/2)x²-√2x+2
(0<X<2√2)

3)当D是BC的中点时，AD为中线，所以∠DAE=45°，
又∠ADE=45°
所以∠AED=90°，△ADE是直角三角形，此时AE=AC/2=1

Answer 2

证明：（1）∵∠BAC=90° AB=AC ∴∠B=∠C=45°
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD且∠ADE=45°∴∠EDC=∠BAD
∴△ABD∽△DCE（A.A）
(2)∵∠BAC=90° ∴AB²+AC²=BC²
∵AB=AC=2 ∴BC=2根号2
∵△ABD∽△DCE∴AB/BD=CD/CE
∴y=0.5x²-（根号2）x+2（0＜x＜2根号2）
(3)∵点D为BC边上的动点，DE交AC于点E∴∠DAE≠90°
∵△ADE是直角三角形∴∠AED=90°
∴∠AED=∠ADE=45°
∴AE=1/2AC=1
就是这样，希望能帮到你。