Question

高数：一：偏导数不连续也可能可微对吗？二：偏导数不存在一定不可微对吗？

Answer 1

两个结论都正确。

前者可考虑例子：

f(x，y)＝(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2))，当x^2+y^2>0时。

f(x，y)＝0，当x^2+y^2＝0时。

这个函数偏导数在(0，0)不连续，但是可微。

函数可微，则偏导数必存在，因此偏导数不存在必不可微。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

Answer 2

两个结论都正确。
前者可考虑例子：
f(x，y)＝(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2))，当x^2+y^2>0时；
f(x，y)＝0，当x^2+y^2＝0时。
这个函数偏导数在(0，0)不连续，但是可微。
函数可微，则偏导数必存在，因此偏导数不存在必不可微。