Question

设fx=ax2+x-a,gx=2ax+5-3a(1)若fx在x∈[0,1]上最大值是5/4,求a值

(2)若对于任意x1∈【0,1】，总存在gx0=fx1,求a的取值范围

Answer 1

（1）对fx求一阶导数，得f‘(x)=2ax+1;若a>0,在x=1取得最大值（此时一阶导数为正，即单调递增）但是最大值是1，不合题意;若a<0，在x=0处取得最大值，此时a=-5/4不符合条件；当a=0时，最大值在x=1处取得，但是最大值是1。因此，a=-5/4.

（2） 由（1）分析出 a三种情况 分别讨论。
a>0时，f（x）单调递增，则-a<f(x)<1; 5-3a<g(x)<5-a;
a=0时，f(x)单调递增，f(x)=x,则0<f(x)<1;g(x)=5;
a<0时，f(x)单调递减,则1<f(x)<-a（隐含着a<-1条件);5-a<g(x)<5-3a;
因为总存在g(x0)=f(x1)，则
a>0时，-a>=5-3a且1<=5-a （和条件求交集）解得5/2<=a<=4；
a=0时，必定不成立；
a<0时，1>=5-a且-a<=5-3a（和条件一起求交集）解得a不存在。
综上，a的取值范围是
5/2<=a<=4

Answer 2

1、f(x)在x∈[0,1]的最大值：

若a>0,f(x)的对称轴为-1/2a -1/2a<0 则在x∈[0,1]上最大值为f(1)=a*1^2+1-a=a+1-a=1，与最大值为5/4不符合，故a>0不成立
若a=0,f(x)=x 在x∈[0,1]上最大值为f(1)=1，与最大值为5/4不符合，故a=0不成立

若a<0,f(x)的对称轴为-1/2a -1/2a>0
若-1/2a>1 则在x∈[0,1]上最大值为f(1)=a*1^2+1-a=a+1-a=1，与最大值为5/4不符合，故-1/2a>1不成立

若-1/2a<1 则在x∈[0,1]上最大值为f(-1/2a)=a(-1/2a)^2+(-1/2a)-a=1/4a-1/2a-a=-1/4a-a=5/4
1/a+4a+5=0 4a^2+5a+1=0 a=-1或a=-1/4
-1/2a<1 a<-1/2
可得a值为-1

2、