Question

已知关于x的方程（k-1）x²＋2kx+k+3=0

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围
(2) 当方程有两个相等的实数根是，求关于y的方程y²+（a-4k）y+a+1=0的整数根（a为正整数） （只要第二题）

Answer 1

关于x的方程 (k-1)x² + 2kx + k+3 = 0 有两个相等的实数根
Δ=(2k)² - 4(k-1)(k+3) = 0
解得 k= 3/2
代入关于y的方程 y² + (a-4k)y + a+1 = 0
得 y² + (a-6)y + a+1 = 0

Δ= (a-6)² - 4(a+1) = a² - 16a + 32 = (a-8)² - 32 ≥ 0
(a-8)² ≥ 32 a-8 ≤ - 4√2 或 a-8 ≥ 4√2
a ≤ 8 - 4√2 (等于2.34…) 或 a ≥ 8+4√2（等于13.65…）
又a为正整数
∴ 0<a≤2 或 a ≥ 14 且a为整数

方程的根是整数，所以Δ为完全平方数
设 (a-8)² - 32 = m² (设m≥0)
(a-8)² - m² = 32
(a-8+m)(a-8-m) = 32

①a-8-m=1 且 a-8+m=32 解不是整数
②a-8-m=2 且 a-8+m=16 解得 a=17
③a-8-m=4 且 a-8+m=8 解得 a=14
④a-8-m= -32 且 a-8+m= -1 解不是整数
⑤a-8-m= -16 且 a-8+m = -2 解得 a= -1(舍去)
⑥a-8-m= -8 且 a-8+m = -4 解得 a=2

当a = 17时，y² + 11y + 18 = 0 ，解得 y₁= - 2 ，y₂ = - 9
当a = 14时，y² + 8y + 15 = 0，解得 y₁ = -3，y₂ = - 5
当a = 2时，y² - 4y + 3 = 0 ，解得 y₁ = 1 ，y₂ = 3