Question

设A为实数，函数F（X)=X^2+ ∣ X-A ∣ +1,X∈ R.求函数F(X)的最小值。

Answer 1

1)x>=a时，f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2+3/4-a
在此区间内，x>=-1/2时单调增
若a<=-1/2, 则fmin=f(-1/2)=3/4-a
若a>-1/2, 则fmin=f(a)=a^2+1
2）x<=a时，f(x)=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+3/4+a
在此区间内，x<=1/2时单调减
若a>=1/2, fmin=f(1/2)=3/4+a
若a<1/2，fmin=f(a)=a^2+1

由于a^2+1-(3/4±a)=a^2+1/4±a=(a±1/2)^2>=0
综合1），2）得：
若a>=1/2时，Fmin=3/4+a
若a<=-1/2时，Fmin=3/4-a
若-1/2<a<1/2, Fmin=a^2+1