Question

初三数学题（要过程。最好带图！）

在平面直角坐标系中。点o是坐标原点。点P（m,-1) (m＞0）。连接OP.将线段OP绕点O逆时针旋转90°。得到线段OM。且点M是抛物线y=ax²+bx+c的顶点。已知点A（1，0）若抛物线y=ax²+bx+c与Y轴交于点B，直线AB与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点。请判断△BOM的形状。说明理由！

Answer 1

线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM, M(1,m)
B(0,c), 直线AB为 y=kx+c 过点(1,0) 代入 k+c=0, k=-c, y=-cx+c
求直线与抛物线的交点为方程 ax²+bx+c=-cx+c 的解，ax²+bx+cx=0
x(ax+b+c)=0, 只有一个交点所以方程有唯一的解为x=0，b+c=0,b=-c
二次函数的解析式为 y=ax²-cx+c，其顶点为 M(1,m)
∴ c/2a=1 ∴a =c/2
将二次函数配方后得到 y=(c/2)x²-cx+c=(c/2)(x-1)²+(c/2)
∴M （1，c/2） 求出OM、BM、OB，可得OM=BM,∴△BOM是等腰三角形