Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分线段AB

① 试找出图中相等的线段，并说明理由
② 若DE=1CM BD=2CM 求AC的长！

Answer 1

解①∵BD是∠ABC的平分线，DE，DC分别⊥AB和BC
∴DE=CD(角平分线定理)
又∵∠DCB和∠DEB=90°，∠DBE=∠CBD(BD是角平分线)，BD=BD
∴△BDE≡△BDC(角角边)
∴BE=BC

②∵DE=1cm，BD=2cm
∴sin∠DBE=1/2
∴∠DBE=30°
∴∠ABC=∠DBE+∠CBD=30°+30°=60°
又 ∵BE=BC(步骤①已证明)=(2^2-1^2)^(1/2)=3^(1/2)
∴∠BAC=180°-60°-90°=30°
∴AC=BC/tanBAC=3^(1/2)*3^(1/2)*=3cm
(不知道你学了三角函数没有，如果没学三角函数，按全等和勾股定理也是可以求出来的)
注：由于多少次方和根号打不出来，所以只能用^代替,其中^2是平方的意思。^1/2是开方的意思。

suanshu123的答案中，由于第一问之前没有告知边长和角度的关系，所以AB=BE=BC是不成立的，而且EB包含在AB之间，根本就不存在相等的关系。只有当第二问出现了，当∠A=30°时AE=EB,AD=BD

Answer 2

① CD=DE, AD=BD, AE=BE=BC
证明：
∵BD平分∠ABC
DE⊥AB, DC⊥BC
∴CD=DE(角平分线上的点到角两边距离相等)
又BD=BD
∴Rt△BCD≌Rt△BED (HL)
∴BE=BC(全等三角形对应边相等)
又DE垂直平分线段AB
∴AE=BE
AD=BD(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)

② 由上题结论知
AC=AD+CD=BD+DE=2+1=3 cm

Answer 3

这个太简单了。
第一步 ：角平分线上的点到两条边的距离相等。

所以 DC=DE 又因为AD=2DC 所以AD=2DE

第二步 ：RT△AED中 AD=2DE 所以∠A=30°

Answer 4

CD=DE,AB=BE=BC,AD=BD
AC=AD+CD=BD+DE=2+1=3CM