Question

如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BECD相交于点O （1）当∠1=∠2时，求证OB=OC （2）当OB=OC时求证∠1=∠2

Answer 1

解：（1）证明：∵当∠1=∠2
∴OA是∠BAC的角平分线，且CD⊥AB，BE⊥AC
∴∠ODB=∠OEC=90°，OD=OE
在△DOB和△EOC中：∠ODB=∠OEC，OD=OE，∠DOB=∠EOC（对顶角相等）
∴△DOA全等于△EOC（ASA）
∴OB=OC
（2）证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E
∴∠ODB=∠OEC=90°
在△ODB和△OEC中：∠ODB=∠OEC，∠DOB=∠EOC（对顶角相等），OB=OC
∴△ODB全等于△OEC（AAS）
∴OE=OD，且CD⊥AB，BE⊥AC
∴OA是∠BAC的角平分线
∴∠1=∠2

Answer 2

证明
∵∠APO=∠AEO=90，∠1=∠2
∴∠POA=∠AOE，AO是△APO△AOE的共边
∴△POA≌△AEO
∴OP=OE
∵∠POB=∠EOC
∴△POB≌△OEC
∴OB=OC
以上反推可以证明∠1=∠2