Question

已知函数f(x)=2x^2+m的图像与函数g(x)=In|x|的图像有四个交点，求实数m的范围

设h(x)=f(x)-g(x)=2x^2+m-ln|x|;
h(x)为偶函数，在x＞0时，h(x)=2x^2+m-lnx
h'(x)=4x-1/x
当0＜x＜1/2时，h'(x)＜0，函数h(x)单调递减
当x＞1/2时，h'(x)＞0，函数h(x)单调递增
x=1/2时，h(x)取得最小值
函数f(x)=2x^2+m的图像与函数g(x)=ln|x|的图象有四个不同的交点
即h(x)=2x^2+m-lnx=0在x＞0上有两个不同解
即h(x)最小值h(1/2)=1/2+m+ln2＜0
∴m＜-1/2-ln2
这里面“即h(x)最小值h(1/2)=1/2+m+ln2＜0”是什么意思，请高手详细说明，拜托

Answer 1

楼主你好，此题使用的是零点定理，即：在区间[a，b]上f(x)连续，如果f(a)*f(b)<0，即f在端点的函数值异号，则f(x)=0在区间[a,b]上至少有一个解。
特殊的，如果f(x)又是[a,b]上的单调函数，则f(x)=0在此区间有且仅有一解。

本例中，由于函数是偶函数，则h(x)=0在实数域有四个解，等价于在(0,∞)上恰好有两解。
首先估计x→0时，-lnx非常大，因此h(x)在x=0附近为正无穷。
同理，当x→+∞时，x^2增长的速度远大于lnx的增长速度，因此也为正无穷
现在根据增减性，知道了h(x)在x=1/2处取得最小值1/2+m-ln2
如果这个最小值<0，则h(x)在区间(0,1/2)以及(1/2,∞)上分别端点函数值异号，分别单调。
因此根据零点定理，在这两区间上分别恰好有一根。
再由偶函数，得到在实数域有4个根。

顺带指出，楼主最后三行符号打错了：
h(1/2)=1/2+m-ln2<0，得m<ln2-1/2

Answer 2

当h(x)最小值h(1/2)=1/2+m+ln2＜0可保证h（x）在(0,1/2)及（1/2，+∞）上各有一解。