Question

已知f(x)=(lnx)-a/x,若函数f(x)在[1,e]上的最小值为2,求实数a的值

Answer 1

解：f(x)=(lnx)-a/x
f(x)在[1,e]上的最小值为2，也即x∈[1.e]时有f(x)≥2。若a≥0，当x∈[1,e]时f(x)=(lnx)-a/x为增函数，则f(x)≤f(e)=1-a/e≤1，与f(x)≥2矛盾。故a<0。
f'(x)=1/x+a/x^2
令f'(x)=0，解得x=-a
f''(x)=-1/x^2-2a/x^3=-(x+2a)/x^3
则f''(-a)=-a/x^3>0。
f(x)的最小值要么取在区间端点上，要么取在驻点上（即x=-a）。
如果f(1)=2，则2=ln1-a/1，得a=-2。此时f(e)=lne-(-2)/e=1+2/e<2，故f(x)的最小值不可能是2，矛盾。
如果f(e)=2，则2=lne-a/e，得a=-e。此时f(1)=ln1-(-e)=e>2。又f(-a)=f(e)=2，故f(x)的最小值就是2。所以a=-e满足题意。
如果f(-a)=2，则2=ln(-a)-a/(-a)=ln(-a)+1，也得到a=-e。与前述情况完全一样，也满足题意。
故a=-e。

Answer 2

f '(x)=1/x+a²/x=(a+x)/x²
令 f ‘(x)=0==>x=-a
f ‘(x)>0==>x>-a
f ‘(x)<0==>x<-a
所以x=-a是函数f(x)的极大值点；
以下对a进行讨论：
1)
当-a<1时，即a>-1时
f(x)在[1，e]上单调减，2=f(e)=1-a/e==>a=-e矛盾！
2）
当1≤-a<e时，即 -e<a≤-1时，函数在[1,e]上先增后减；最小值有两种可能，
如果f(1)=2==>-a=2,a=-2满足条件；
如果f(e)=2==>a=-e ,不满足条件；
3）
当-a≥e时，即a≥-e时，
函数在[1，e]上单调增，
2=f(e)==>a=-e 满足条件；
综合可知
a的值为：-2，e