Question

已知f(x)对一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=2，当x大于0时，f(x)小于0(1)证明:f(x)为奇函数;(2...

已知f(x)对一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=2，当x大于0时，f(x)小于0(1)证明:f(x)为奇函数;(2)用定义法证明f(x)为R上的减函数(3)解不等式:f(x-1)-f(1-2x-x2)小于4

Answer 1

(1)取x=y=0得f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0,因为f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),即(x)为奇函数；
（2）设实数x1<x2，f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),所以f(x)为R上的减函数；
（3）因为f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=4，f(x-1)-f(1-2x-x2)<4，所以f(x-1-1+2x+x^2)<f(2),因为f(x)为R上的减函数，所以x-1-1+2x+x^2>2，x>1或x<-4

Answer 2

解答：（1）证明，依题意取x=y=0有f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，又取y=-x可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）（x∈R），即f（x）+f（-x）=0（x∈R）
∴f（-x）=-f（x）（x∈R）由x的任意性可知f（x）为奇函数

（2）证明：设x1＜x2，则x2=x1+（x2-x1），
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[x1+（x2-x1）]=f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）
∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）为R上的减函数；

（3）依题意有f（2）=f（1）+f（1）=4

∴不等式可化为f（x-1）-f（1-2x-x2）＜f（2），即f（x-1）＜f（1-2x-x2）+f（2），
∴f（x-1）＜f（3-2x-x2）
∵f（x）为R上的减函数，
∴x-1＞3-2x-x2解得x＜-4或x＞1

∴不等式的解集为：{x|x＜-4或x＞1}