Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx,f(x-1)为偶函数，集合A={X|f(x)=x}为单元素集合

（1）求f(x)解析式
（2）设函数g(x)=[f(x)-m]*e^x,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调，求实数m取值范围。

Answer 1

平方之类的我不会用键盘打，我告诉你方法。
因为f（x-1）为偶函数，所以由偶函数f（-x）=-f（x）也就是
f[-(x-1)]=-f(x-1)
a（1-x）^2+b（1-x）=-[a（x-1）^2+b(x-1)]

又因为A为单元素，单元素的意思是f（x）=x 即ax^2+bx=x的方程有一个根。

Answer 2

(1) f(x-1) = a(x - 1)² + b(x - 1) = ax² - 2ax + a + bx - b = ax² + (b - 2a)x + a - b
f(x1)为偶函数, b - 2a = 0, b = 2a
f(x) = ax² + 2ax
f(x) = x, ax² + 2ax = x, ax² + (2a-1)x = 0
x[ax + (2a-1)] = 0
x₁ = 0, x₂ = 1-2a
集合A为单元素集合, 1-2a = 0, a = 1/2
f(x) = x²/2 + x

(2) g(x) = (x²/2 + x -m)e^x
g'(x) = (x + 1)e^x + (x²/2 + x -m)e^x = (x²/2 + 2x + 1 -m)e^x = 0
x² + 4x + 2(1 -m) = 0
∆ = 16-4*2(1-m) = 8+8m

x₁₂ = [-4 ± √(8+8m)]/2 = -2 ± √(2+2m)
x₁ = -2 - √(2+2m), x₂ = -2 + √(2+2m)

要使g(x)在x∈[-3,2]上单调, 有三种可能:
(i) x₁ ≥ 2
-2 - √(2+2m) ≥ 2
√(2+2m) ≤ -4, 不可能
(ii) x₂ ≤ -3
-2 + √(2+2m) ≤ -3
√(2+2m) ≤ -1, 不可能
(iii) x₁ ≤ -3且x₂ ≥ 2
-2 - √(2+2m) ≤ -3
√(2+2m) ≥ 1
m ≥ -1/2 (a)
-2 + √(2+2m) ≥ 2
√(2+2m) ≥ 4
m ≥ 7 (b)
结合(a)(b): m ≥ 7