Question

已知函数f（x）=|x²-4x+3|，若关于x的方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围

Answer 1

　　思考：因为f（x）-a=x所以令g（x）=x+a即证明f（x）与g（x）至少有三个不相等的实数根。

　　解题：画出f（x）的图像，由图知f（x）与g（x）焦点的转折点在m，n点。

 

,

只有在m，n之间的g（x）才满足条件。在m点处g（x）与图像相切，求f（x）=-（x²-4x+3）的导数等于g（x）=x+a的导数，解出x=3/2,在n点处将（1,0）带入，得到a=-1，所以a属于[-1,3/2]时满足。

                         望采纳！

Answer 2

数形结合法

方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根

方程f（x）-a=x的根的个数,

就是方程f（x）= x+a的根的个数

就是函数与y=x+a交点的个数。

当直线y=x+a位于l1（与y=f(x)相切）和l2（过点（1，0））之间时，方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根。如图。

1<x<3,

y=-x²+4x-3.

y’=-2x+4=1,

x=3/2,y=-9/4+6-3=3/4,

l1:3/4=3/2+a, a1=-3/4.

l2:0=1+a, a2=-1.

所以a的取值范围[-1, -3/4].

Answer 3

解：由x^2-4x+3=0得x=1或x=3
（1）当x≤1或x≥3时，x^2-4x+3≥0，
方程化简为x^2-4x+3-a=x，即x^2-5x+(3-a)=0，△=25-4(3-a)=13+4a
此时x=[5±√(13+4a)]/2
要使上面得x大于等于3或小于等于1，
则[5+√(13+4a)]/2≥3或[5-√(13+4a)]/2≤1
解得a≥-3或a≥-1
（2）当1≤x≤3时，x^2-4x+3≤0，
方程化简为-x^2+4x-3-a=x，即x^2-3x+(3+a)=0，△=9-4(3+a)=-(3+4a)
此时x=[3±√-(3+4a)]/2
要使x满足[1，3]区间，则1≤[3±√-(3+4a)]/2≤3
解得a≥-1且a≥-3，即a≥-1

综上，a≥-1

追问

那怎么看出来a满足f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根？

追答

当x^2-4x+3>=0时，f（x）-a=x即x^2-4x+3-a=x，有2个解（后面已求出并且在相应x范围内）
当x^2-4x+3≤0时f（x）-a=x即x^2-3x+(3+a)=0，至少有1个解（后面已求出并且在相应x范围内）

Answer 4

本题采用数形结合的思想
解析：
思路：
“方程f（x）－a ＝ x至少有三个不相等的实数根” 可以理解为：

f（x）－a ＝ x 等价于f（x）＝ x＋ a

如果令y ＝ x＋ a 则 代表一条直线，也就是说当直线和函数f（x）＝|x²－4x＋3|的图像
至少有三个交点时，也就是“方程f（x）－a＝x至少有三个不相等的实数根”
由此要把 函数f（x）＝|x²－4x＋3|的大致图像在坐标系中绘出 。
f（x）＝|x²－4x＋3|≥0 代表的图像意义就是，二次函数x²－4x＋3 图像在x轴以上部分