Question

关于二次型标准型和规范型

正交化只能化成标准型，但是标准型可以化成规范型，不就等于正交法可以最终求出规范型？还有一个问题：是不是求出的标准型，经过初等变换化成规范型，听说规范型是矩阵的等价标准型，即
Er 0
0 0
这个我不是很懂，可以举个例子把标准型化成规范型吗？

Answer 1

求二次型的标准形可通过:
1. 配方法 (这个常用), X=PY, P可逆
2. 特征值特征向量法 (这种方法比较麻烦. 除非题目要求正交变换时用此方法), X=QY, Q是正交矩阵
3. 初等行列变换 (这个同1是可逆变换)

若题目只要求出规范型, 用配方法比较简单.
另, 规范型不是对应矩阵的等价标准形, 规范型中有1和-1.

例: f= y1^2+3y2^2-5y3^2
令 z1=y1,
z2=√3y2,
z3=√5y3.
则 f = z1^2+z2^2 - z3^2.