Question

如图，RT△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点D，E是BC中点，连接DE、OE1

如图，RT△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点D，E是BC中点，连接DE、OE1判断DE与圆O的位置关系2求证BC²=2CD×OE3若TANC=根号五/2DE=2求AD，明天早上5：30结束真的非常需要你的帮助 谢谢

Answer 1

⑴DE与圆O相切。
理由：
连接OD，BD，
∵AB是直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵E为BC的中点，∴DE=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∵OD=OB，OE=OE，∴ΔOED≌ΔOEB，
∴∠ODE=∠B=90°，∴DE与圆O相切。
⑵证明：∵O、E分别为AB、BC的中点，∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠CDB=∠CBA=90°，
∴ΔCDB∽ΔCBA，∴CD/BC=BC/AC，
∴BC^2=CD*AC=2CD*OE。
⑶解：∵BC=2DE=4，在RTΔCDB中，BD/CD=tanC=√5/2，
设BD=√5K，则CD=2K，∴5K^2+4K^2=16，K=4/3(取正)，∴BD=4√5/3，
在RTΔABC中，tanC=AB/BC=√5/2，∴AB=2√5，
∴AD^2=AB^2-BD^2=20-80/9=100/9，
∴AD=10/3。

Answer 2

⑴DE与圆O相切。
理由：
连接OD，BD，
∵AB是直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵E为BC的中点，∴DE=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∵OD=OB，OE=OE，∴ΔOED≌ΔOEB，
∴∠ODE=∠B=90°，∴DE与圆O相切。
⑵证明：∵O、E分别为AB、BC的中点，∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠CDB=∠CBA=90°，
∴ΔCDB∽ΔCBA，∴CD/BC=BC/AC，
∴BC^2=CD*AC=2CD*OE。
⑶解：∵BC=2DE=4，在RTΔCDB中，BD/CD=tanC=√5/2，
设BD=√5K，则CD=2K，∴5K^2+4K^2=16，K=4/3(取正)，∴BD=4√5/3，
在RTΔABC中，tanC=AB/BC=√5/2，∴AB=2√5，
∴AD^2=AB^2-BD^2=20-80/9=100/9，
∴AD=10/3。

Answer 3

连接BD，OD
（1）
∵AB为直径（已知）
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）
∵E是BC中点（已知）
∴BE=DE（直角三角形的斜边中点到三顶点的距离相等。）
∴∠EBD=∠EDB（三角形中，等边对应的角也相等。）
∵OB=OD（同圆半径相等）
∴∠OBD=∠ODB（三角形中，等边对应的角也相等。）
∵∠ABC=90°（已知）
∴∠ODE=∠ABC=90°
∴DE为圆O的切线。（切线定义：过圆周上一点，且垂直于过该点半径的直线时圆的切线。）
（2）证明：
∵O为AB的中点，E为BC的中点
∴AC=2OE（三角形中位线等于底边的一半）
在⊿CDB和⊿CAB中
∵∠CDB=CBA=90°，且∠C为公用角
∴Rt⊿CDB∽Rt⊿CBA
∴BC/AC=CD/BC
BC²=AC·CD=2·OE·CD=2·CD·OE
（3）设TAN∠C=√5/2，DE=2，求AD。
解，
∵DE=2
∴BC=BE+CE=2DE=2x2=4
∵TAN∠C=√5/2
∴AB=BC·TAN∠C=4x(√5/2)=2√5
AC=√(AB²+BC²)=√〔(2√5)²+4²)〕=6
同理可证：AB²=AD·AC（证法略。）
AD=AB²/AC=(2√5)²/6=10/3