Question

关于正弦定理与余弦定理的题

Answer 1

1。直接用余弦定理
设第三边为x，则
x^2=5^2+4^2-2*5*4*cos120°=61，即x=√61

2。先运用和差化积、积化和差、倍角公式确定角度
注意到A+B+C=180°，A+B=120°
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2sin[120°/2]*cos[(A-B)/2]=√3cos[(A-B)/2]
sinAsinB=-1/2[cos(A+B)-cos(A-B)]=-1/2[cos120°-cos(A-B)]=1/2cos(A-B)+1/4
因sinA+sinB=2√6sinAsinB
则√3cos[(A-B)/2]=2√6*[1/2cos(A-B)+1/4]
而由倍角公式有cos(A-B)=2cos^2[(A-B)/2]-1，令cos[(A-B)/2]=t，则有
t^2-√2/4-1/4=0
解得t=√2/2或t=-√2/4
即cos[(A-B)/2]=√2/2或cos[(A-B)/2]=-√2/4
因-180°<A-B<180°，即-90°<(A-B)/2<90°
则cos[(A-B)/2]>0，所以cos[(A-B)/2]=√2/2，即|A-B|=90°
令A>B，而A+B=120°
所以A=105°，B=15°

再用正弦定理、倍角公式、两角和正弦公式确定边及面积
设另外两边长为a、b
由正弦定理有：b=c/sinC*sinB=3/sin60°*sin15°=2√3*sin15°
由倍角公式有sin15°=√[(1-cos30°)/2]（注意到sin15°>0）
则sin15°=(√6-√2)/4
所以b=(3√2-√6)/2
又由正弦定由倍角公式有sin15°理有：a=c/sinC*sinA=3/sin60°*sin105°=2√3*sin105°
由两角和正弦公式有sin105°=sin(60°+15°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=(√6+√2)/4
所以a=(3√2+√6)/2
由面积公式有S⊿ABC=(ab/2)·sinC=3√3/4

Answer 2

1、已知三角形，两边分别为5、4，它们夹角为120度，求第三边的长。
2、在△ABC中，sinA+sinB=2√6sinAsinB，C=60°，c=3,求△ABC面积。