Question

假设 F(x)=∫{0,x^2} 1/(2+t^3) dt 对所有x都成立,求F'(-1)

Answer 1

假设 F(x)=∫{0,x^2} 1/(2+t^3) dt 对所有x都成立,求F'(-1)
解：F′(x)=[1/(2+x^6)][d(x²)/dx]=2x/(2+x^6)
故F′(-1)=-2/3

追问

我，能再详细点吗，第一步是怎么得出来，我都不知道。。。

追答

这是一个求“含参变数积分”的导数问题，有现成的公式：
①(d/dx)[a，x]∫f(t)dt=f(x)
②(d/dx)[a，b(x)]∫f(t)dt=f[b(x)][db(x)/dx]
③(d/dx)[a，b]∫f(t，x)dt=[a，b]∫[∂f(t，x)/∂x]dt
④(d/dx)[a，b(x)]∫f(t，x)dt=[a，b(x)]∫[∂f(t，x)/∂x]dt+f[b(x)，x](db/dx)
⑤(d/dx)[a(x)，b(x)]∫f(t，x)dt=[a(x)，b(x)]∫[∂f(t，x)/∂x]dt+f[b(x)，x][db(x)/dx]-f[a(x)，x][da(x)/dx].
注：积分符号前面的中括号内的两个文字，前面的积分下限，后面的是极分上限。

Answer 2

F(x)=∫{0,x^2} 1/(2+t^3) dt
F‘(x)= 1/(2+x^6)* (2x)
F'(-1)=-2/3