Question

高一数学题解答 f(x)=ax+b/1+x²是定义在（-1,1）上的奇函数。且f(1/2)=2/5 1.求f(x)

2.用定义域证明：f(x)在(-1,1)上递增
3.解不等式 f(t-1)+f(t)<0

Answer 1

(1)，因为f(x)=(ax+b)/(1+x²)是 奇函数，所以
f(0)=b=0，
又f(1/2)=(a/2+b)/[1+(1/2)²]=(2a+4b)/5=2/5，
由b=0，得： a=1，
所以函数f(x)的解析式： f(x)=x/(1+x²)。
(2)，函数f(x)的定义域为：(-1，1)，
在(-1，1)上，任取x1，x2，-1<x1<x2<1，则：
f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1²)-x2/(1+x2²)=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1²)(1+x2²)]，
因为-1<x1<x2<1，则：x1-x2<0， 1-x1x2>0，(1+x1²)>0，(1+x2²)>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
根据函数单调性的定义，-1<x1<x2<1，f(x1))<f(x2)，
所以函数f(x) 在(-1，1)上是增函数。
(3)，f(t-1)+f(t)<0，
f(t-1)<-f(t)=f(-t)， (f(x)是奇函数)
因为函数f(x) 在(-1，1)上是增函数，所以
t-1<-t ，且 -1<t-1<1， -1<-t<1，
即t<1/2，且 0<t<2 ， -1<t<1，
所以 0<t<1/2。

Answer 2

f(x)=(ax+b)/(1+x²)是定义在（-1,1）上的奇函数，
所以 f(0)=b=0，
又f(1/2)=(a/2)/(5/4)=2/5，所以 a=1
1. 所以 f(x)=x/(1+x²)
2.设 -1<x1<x2<1，则x1·x2<1
所以 f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2²)- x1/(1+x1²)
=(x2+x2·x1²-x1-x1·x2²)/(1+x1²)(1+x2²)
=(x2-x1)(1-x1·x2)/(1+x1²)(1+x2²)>0
所以 f(x)在(-1,1)上是增函数。
3.因为f(x)是奇函数，所以原不等式可化为
f(t)<f(1-t)
又f(x)是(-1,1)上的增函数
所以 -1<t<1 (1)
-1<t-1<1 (2)
t<1-t (3)
解得 0<t<1/2

Answer 3

1、由函数在（-1,1）是奇函数，则f(0)=0，再由f(1/2)=2/5，列出方程可求得a=4/5，b=0
即f(x)=4x/5
2、设-1＜x＜y＜1，f(x)-f(y)=4x/5-4y/5=4/5(x-y)＜0
所以函数f(x)在（-1,1）内递增
3、由题意得不等式4(t-1)/5+4t/5<0
化简得 8t/5<4/5
解得 t<1/2
再由函数的定义域为（-1,1），所以原不等式的解为 (-1,1/2)

Answer 4

奇函数 则X=0 值为零 f(1/2)=0.4 可以解得 （2）用定义设X1＜X2 就可以求 （3） 代入 方程解就可以得到

追问

能不能再讲的稍微详细一点，拜托拜托~非常感谢~

追答

(1)，因为f(x)=(ax+b)/(1+x²)是 奇函数，所以
f(0)=b=0，
又f(1/2)=(a/2+b)/[1+(1/2)²]=(2a+4b)/5=2/5，
由b=0，得： a=1，
所以函数f(x)的解析式： f(x)=x/(1+x²)。
(2)，函数f(x)的定义域为：(-1，1)，
在(-1，1)上，任取x1，x2，-10，(1+x1²)>0，(1+x2²)>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
根据函数单调性的定义，-1<x1<x2<1，f(x1))<f(x2)，
所以函数f(x) 在(-1，1)上是增函数。
(3)，f(t-1)+f(t)<0，
f(t-1)<-f(t)=f(-t)， (f(x)是奇函数)
因为函数f(x) 在(-1，1)上是增函数，所以
t-1<-t ，且 -1<t-1<1， -1<-t<1，
即t<1/2，且 0<t<2 ， -1<t<1，
所以 0<t<1/2。