Question

平面图形绕y轴旋转一周产生另一旋转体，其体积为Vy=2π∫x|f（x）|dx这个公式怎样理解？

Answer 1

设平面图形为f(x) ,a<x<b ,不妨设f(x)》0
任取x，[x,x+dx]这一小条绕y轴旋转一周产生的旋转体体积，是一个厚度为dx的圆柱的体积，从平行于y轴切开后，得一长方体，其体积元素为：2πx*f(x)*dx
故Vy=2π∫xf(x)dx

Answer 2

取x到x+dx的小微元，则所求体积微元为两个圆柱体体积之差，即pi * (x+dx)^2 * y - pi * x ^2 *y，化简这个式子，含dx的平方的项是dx的高阶无穷小，可以略去，最后就得到2 * pi * x * ydx，也就是2 * pi * x * f(x)的定积分啦