Question

幂级数，逐项积分

1.问题一：为什么逐项积分是用定积分0~x区间，如果用不定积分还成立吗？用此区间定积分有什么特别？

2.问题二：

例7中s'(x)为什么是0到x积分，直接不定积分不可吗，0到x有什么特别？我们知道导数的原函数有多个，和函数可以有多个吗？为什么从0~x的定积分就是这个和函数而不是其它呢？

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Answer 1

1 不能用不定积分，不定积分是求原函数的一种方法；定积分的本质就是求和，都给了你确定的x，也就给定了求和范围了，当然是用定积分了。
2 跟前面一样，既然确定了求和的范围，那么求和的结果就只能有一个。在收敛半径内，级数求和的结果是存在且唯一的。这2个题目中，x都应该认为是一个给定的值，不是变量。

追问

问题二中，明显是从s'(x)这个导数，积分到原函数（即和函数）。
“既然确定了求和的范围” 题设有提及求和范围的吗？只提及区间（-1，1），并没有啊。 我还是那句为什么是0到x积分呢，不能从1到x或其它？ 谁规定的？
“给了你确定的x” 就给定了“求和范围”？ 我不说要讲它的范围，而是为什么要求和？级数是求和没错，但对和函数求和（即积分）没有一定要的关系吧，应该更要说说是对和函数积分的意义，这是我想知道的。

Answer 2

个