Question

已知定义在R上的奇函数，满足f(x）=0且在（0，正无穷）上是增函数 求f（-3）的值 求使不等式

xf（x）<0成立的x的取值范围
给我讲讲这类题怎么做！

Answer 1

1.

因f(-x)=-f(x)

则f(-3)=-f(3)=0

 

2.f(0)=f(-0)=-f(0),

f(0)=0

因为f(x)在区间（0，+∞）上是增函数，

则根据奇函数的对称性可知f(x)在区间（-∞，0）上也是增函数

所以

当0<x<3时，f(x)<f(3)=0,这时，xf(x)<0;

当-3<x<0时，f(x)>f(-3)=0,这时，也有xf(x)<0

综上，使xf(x)<0（即x与f(x)异号）的x的取值范围为(-3，0)∪(0，3)。

模型函数(可以理解为这类函数的模特)的图象如图

x-3,  x>0,

y={0,     x=0,

-x+3,  x<0.

Answer 2

告诉你是奇函数就是告诉你f(0)=0，f(-x)=-f(x)
画出图像，根据已知条件求解

Answer 3

条件有误：满足f(x)=0

追问

是我打错了！已知定义在R上的奇函数f(x) 满足f（3）=0

追答

(1)因f(-x)=-f(x)
则f(-3)=-f(3)=0

(2)因f(x)为定义在R上的奇函数，显然x=0处有定义。而奇函数关于原点对称，则必有f(0)=0
另因f(x)在区间（0，+∞）上是增函数，则根据对称性可知f(x)在区间（-∞，0）上也是增函数
则有当x>3时，f(x)>0；而当x0
不难知，当00。
可见，使xf(x)<0（即x与f(x)异号）的x的取值范围为(-3，0)U(0，3)