Question

各项均为正数的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于多少？

Answer 1

Sn=a(1-q^n)/1-q S3n=a(1-q^3n)/1-q 则 S3n/Sn=1-q^3n / 1-q^n=14/2=7
I-a^3=(1-a)(1+a+a^2) 设q^n=a q^3n =a^3 那么1-q^3n = ( 1-q^n)(1+q^n+q^2n) ,则1-q^3n / 1-q^n=1+q^n+q^2n=7
即q^n+q^2n=q^n(1+q^n)=6 因为各项均为正数则q^n=2 那么q^4n=16
因为Sn=a(1-q^n)/1-q =2=Sn=a(-1）/1-q 即a/1-q=-2 那么S4n= a(1-q^4n)/1-q=(-2)(1-16)=30

Answer 2

设首项为a1、公比为q(q≠1)，则: Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=2①； S3n=a1[1-q^(3n)]/(1-q)=14②； S4n=a1[1-q^(4n)]/(1-q)=Sn[1-q^(4n)]/(1-q^n)③； ②/①得:[1-q^(3n)]/(1-q)=7，整理得: q^(2n)+q^n-6=0，解得q^n=2(另一解q^n=-3，因是正数数列，舍去)，代入③式得:S4n=30。

Answer 3

设S2n=x,则（x-2)^2=2(14-x),x=6或x=-4(舍去），即sn,s2n,s3n分别为2，6，14，所以s4n=14+8^2/4=30