Question

已知函数f(x)的定义域为(-1,1),f(1/2)=-1,当且仅当0<x<1时,f(x)<0,且对任意x,y∈（-1,1）

已知函数f(x)的定义域为(-1,1),f(1/2)=-1,当且仅当0<x<1时,f(x)<0,且对任意x,y∈（-1,1）都有f(x)+f﹙y﹚=f﹙x+y/1+xy﹚ 证明：1.f(x)是奇函数 2.f(x)为(-1,1)的减函数 3.f(1/x)＜-2的解集（1,5/4） 4.证明t＞2时，t²-2t＞f(x)对于一切x∈﹙-½，½﹚恒成立是错误的

Answer 1

已知函数f(x)的定义域为(-1,1),f(1/2)=-1,当且仅当0<x<1时,f(x)<0,且对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)).
证明:
1.f(x)是奇函数
f(x)+f(-x)=f(0)
f(0)+f(0)=f(0)
f(0)=0
f(x)=-f(-x)
f(x)是奇函数

2.f(x)为(-1,1)的减函数
令1>x>y>-1
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)
=f((x-y)/(1-xy))
x-y>0
0<1-xy<2
0<(1-xy)1/2
(x-y)/(1-xy)>0
f((x-y)/(1-xy))<0
f(x)为(-1,1)的减函数

3.f(1/x)<-2的解集(1,5/4)
-1<1/x<1
x>1 x<-1
f(1/2)+f(1/2)=f(4/5)=-2
f(1/x)<f(4/5)
1/x>4/5
x>1
x<5/4
取1<x<5/4
x<-1
x>-5/4
无解

4.证明t>2时,t²-2t>f(x)对于一切x∈(-1/2,1/2)恒成立是错误的
t²-2t=(t-1)²-1
t>2
t²-2t>0
在x∈(-1/2,1/2) 只有f(x)≤0 才能恒成立
f(-x)=-f(x)
f(1/2)=-1
f(-1/2)=1>0
命题是错误的

Answer 2

f(x)+f﹙y﹚=f﹙x+y/1+xy﹚这一句是不是有问题？
照这么说的话，f(1/2)+f(1/2)=f(1/2+1/2+1/4)超出定义域了呀

Answer 3

3