Question

6.如图6，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B,D是圆O上一点，CD=CB,连接AD.OC.OC交圆O于E,交BD于F.

.（1）求证：CD是圆O的切线；（2）求证：∠BCD=2∠ABD；（3）求证：E是△BCD的内心；（4）若∠BCD=60°，求EF/CE的值。

请说的详细一点，谢谢，拜托~

Answer 1

（1）连接OD 因为CD=CB,OD=OB,CO=CO => △CDO=(全等)△CBO
CD=CB,CF=CF,∠DCF=∠BCF => △CDF=(全等)△BCF
=>∠ODC=∠OBC=90 于是CD是圆O的切线，同时有∠BFC=90',DB垂直于CO。
（2）AD垂直于BD，有△BOF相似于△BAD, ∠OFB=∠OBC=90', 有△OFB相似于△OBC
=> △BAD相似于△COB => ∠ABD=∠BCE=∠DCE => ∠BCD=2∠ABD
（3）连接DE，BE ，令∠CBE=a，∠DBE=b，有∠BCO=∠ABD=90-a-b =>∠OBE=90-a
∠OEB=∠EBC+∠ECB=90-b,而OB=OE => ∠OEB=∠OBE=> 90-a=90-b => a=b
于是由BE是角DBC的平分线，同样的DE也是BDC的平分线，CE由上述知是BCD的平分线
于是E是三角形BDC的内心
（4）由∠BCD=60° BC=CD 知△BCD为正三角形。
正三角形三心合一。由重心性质知 EF/CE=1/2
(或者略证：EF=sin30 BE=sin30 CE 也可简单求得)
证毕#