Question

已知等边ABC和等边BPE ,点P在BC的延长线上,EC的延长线交AP于M，

连BM，求证BM平分∠AME，AM+MC=BM

Answer 1

第一个问题：
∵△ABC、△BPE都是等边三角形，
∴AB＝CB、BP＝BE、∠ACB＝∠BAC＝∠ABP＝∠CBE＝∠BPE＝60°。
由AB＝CB、BP＝BE、∠ABP＝∠CBE，得：△ABP≌△CBE，
∴∠BPM＝∠BEM，∴B、E、P、M共圆，∴∠BMC＝∠BPE，又∠BAC＝∠BPE，
∴∠BMC＝∠BAC＝60°，∴A、B、C、M共圆，∴∠AMB＝∠ACB=60°。
由∠AMB＝60°、∠BMC＝60°，得：∠AMB＝∠BMC，∴BM平分∠AMC。

第二个问题：
在BM上取一点F，使MF＝MC。
∵MF＝MC、∠FMC＝60°，∴△FMC是等边三角形，∴FC＝MC＝MF，∠BFC＝120°。
显然有：∠AMC＝∠AMB＋∠BMC＝60°＋60°＝120°，∴∠BFC＝∠AMC。
∵A、B、C、M共圆，∴∠FBC＝∠MAC，又∠BFC＝∠AMC、FC＝MC，∴△BFC≌△AMC，
∴FB＝AM。
自然有：BM＝FB＋MF，而BF＝AM、MF＝MC，∴AM＋MC＝MB。