Question

已知a,b,c为互不相等的正数,且abc=1,求证:根号a+根号b+根号c<1/a+1/b+1/c

用综合法或分析法

Answer 1

证明：（分析法）
abc=1
1/a+1/b+1/c……（代入：1=abc。）
=bc+ac+ab
=1/2(2bc+2ac+2ab)
=1/2[(ab+ac)+(ba+bc)+(ca+cb)]
=1/2[a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)]……〔代入：b+c≥2√(bc)，a+c≥2√(ac)，a+b≥2√(ab)。〕
≥1/2[a*2√(bc)+b*2√(ac)+c*2√(ab)]……①
=a√(bc)+b√(ac)+c(ab)……（代入：bc=1/a，ac=1/b，ab=1/c。）
=a√(1/a)+b√(1/b)+c√(1/c)
=√a+√b+√c
因为，abc不相等，所以，a+c≥2√(ac)，b+c≥2√(bc)，b+a≥2√(ba)中的等号不同时取得。
则，①列的符号“≥ ” 应该换成符号“＞”。
即，原式得证。

…………
关键：
1，1的代换。在高中不等式证明里面，这个技巧经常用的。
2，重要不等式要牢记。

Answer 2

1/a+1/b+1/c=bc+ac+ab>根号a^bc+根号b^ac+根号c^2ab=根号a+根号b+根号c