Question

已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4，直线L1过定点A(1.0)

已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4，直线L1过定点A(1.0) 若L1与圆C 相交于P,Q两点,求三角形CPQ的面积的最大值,并求此时L1的直线方程

我用的是S=底乘高，基本不等式得出底=高是S有最大值，同样是基本不等式，为什么这样做是错的？还是基本不等式的理解不对？

Answer 1

说不清楚楼主哪儿理解错了，不过按照楼主的逻辑：
S=底乘高<=(a+b)^2/4，当a=b时取等号。
那么如果a+b=定值，显然S最大值是底=高的时候。
可是这里a+b不是定值，底=高时的S值可能比底不等于高时的值要小的。
比如a+b=6时，a*b最大值=9；可是也可以a=2，b=5，a*b=10。
可能没说明白，呵呵。不过总之要求最大值，不等号<=右边应该是一个定值，才可以下结论。

所以应该用S△CPQ=1/2*CP*CQ*sin∠PCQ=1/2*(R^2)*sin∠PCQ=1/2*(4)*sin∠PCQ=2*sin∠PCQ
到此为止都是等号，下面来看不等号：
如果画图，应该可以看到，0°<=∠PCQ<=180°
所以0<=sin∠PCQ<=1
这时可以加上不等号0<=S△CPQ<=2
所以最大值为2，当∠PCQ=90°时有最大值。

此时，在Rt△CPQ中，PQ边上的高=√2
也即圆心C(3,4)到直线L1的距离为√2
因为直线L1过定点A(1,0)，设直线L1：y=ax-a
圆心C(3,4)到直线L1的距离=|(3a-4-a)/√(a^2+1)|=√2
解得a=1或7
此时L1的直线方程为y=x-1或y=7x-7

Answer 2

你好。哪种方法应该都是一样的，可能是因为你做题的的过程中有一些问题，或者是因为原理不对。我来分析一下吧：
首先，应该写出直线方程，用点线式表示：y=k(x-1)。然后再分析下三角形的面积。三角形面积公式有很多，你用底乘高不是不可以，但是个人觉得太繁了，因为底边PQ就很不好求。有一个公式S=1/2 r^2 sin<PCQ>。我觉得这个是最好的，其中r是圆的半径，<PCQ是两半径的夹角。很明显当这个角为90度的时候，三角形面积最大，即三角形是等边直角三角形的时候，最大面积就等于2。为了求直线的方程，采用点到直线的距离的公式。这个时候点到直线的距离就是三角形的高，很容易计算，就等于根号2.公式带进去，求出两个值k=1或者7。很容易理解，两边是对称的，所以有两个解。
谢谢。
有问题再联系。

Answer 3

过定点（1,0），设l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0∵l1与圆相切∴d=r=2∵d=|3k-4-k|/根号k^2+1=2
∴4k^2-16k+16=4K^2+4∴-16k=-12,k=3/4∴l1的方程为3/4x-y-3/4=0(保证正确呦！这是我们老师讲解的）