Question

已知:如图所示,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC,交点E,与CD相交于点F, ​

H是BC边上的中点,连接DH与BE相交于点G（1） 求证 ：F=AC (2)求证：DG=DF

Answer 1

图没看到，依题意画出下图：

 

这题的（1）答，应是“求证：BF= AC ”   

 

证明：

（1）

∵∠ABC = 45°，CD⊥AB

∴BD = CD

又∵∠ACD与∠A互余，∠ABE与∠A互余

∴∠FBD =∠ACD 

∴△FBD≌△ACD（ASA）

∴BF = AC

 

（2）

∵H是BC边上的中点

∴DH ⊥BC（等腰三角形底边上的高线平分该底边）

又∵BE平分∠ABC

∴∠ABE =∠CBE

而∠DFB与∠DBF互余，∠BGH与∠GBH互余

则∠DFB =∠BGH

∵∠DGF =∠BGH（对顶角相等）

∴∠DGF =∠DFG

∴DG = DF（两底角相等的△DGF是等腰三角形）

Answer 2

（1）这个问题是不是想证明BF=AC啊？
这个问关键是要证明：直角三角形BDF与直角三角形CDA全等
因为∠ABC=45°,CD⊥AB于点D
所以三角形BCD是等腰直角三角形，即有：
BD= CD
< CDA=<BDF=90'
因为BE平分∠ABC,且BE⊥AC
所以<BEA=<BEC=90'
<ABE=<CBE=45‘/2
所以明显有：直角三角形BEA与直角三角形CDA相似
所以有：<FBD=<ACD
从而直角三角形BDF与直角三角形CDA全等
所以BF=AC 得证

（2）由（1）的证明过程我们可得到<ABE=<CBE=<EFC=45'/2
我们由三角形BCD是等腰直角三角形，且H是BC边上的中点
知：<BHG=90'
从而角三角形BHG与直角三角形CEF相似
所以有：<BGH = <DGF = <CFE= <DFG
从而三角形DGF是等腰三角形
所以 DG=DF 得证

Answer 3

（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
∵
∠BDF=∠CDA∠A=∠DFBBD=DC
，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；

(2)证明：∵H是BC边上的中点
∴DH ⊥BC
又∵BE平分∠ABC
∴∠ABE =∠CBE
而∠DFB与∠DBF互余，∠BGH与∠GBH互余
则∠DFB =∠BGH
∵∠DGF =∠BGH
∴∠DGF =∠DFG
∴DG = DF