Question

高等数学极限（新手一枚，不知道题目有没有出错。）

1. [x/(1+x)]^x的极限,x趋近于0。
2.(1+2/3x)^4x的极限，x趋近于0。

Answer 1

1、由洛必达法则有
lim xlnx＝lim lnx/(1/x)＝lim (1/x)/(－1/x^2)＝0，
因此lim x^x＝e^0＝1。另外，显然有lim (1+x)^x＝1^0＝1，
于是lim (x/(1+x))^x
＝lim x^x/(1+x)^x
＝1。
2、利用重要极限lim (1+1/x)^(x)＝e，当x趋于0时。

lim (1+2/(3x))^(4x)
＝lim {(1+2/(3x))^(3x/2)}^[2*4x/(3x)]
＝e^(lim 8x/(3x))
＝e^(8/3)。

Answer 2

给一个通式
若u->0,v->无穷
则lim(1+u)^v=lim[(1+u)^(1/u)]^(uv)=e^(limuv)
第一道题答案为1/e
第二道题答案为e^(8/3)

Answer 3

1极限为1/e e是自然底数
2极限为e^(8/3)
这两道都用到了(1+1/x)^x→e的知识