Question

设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R,若对任意的x1,x2∈【0,4】,都有|f(x1)-f(x2)|≤8，求t的取值范围。

求详细解答。答案上把t分三种情况，为什么要分（0,2）（2,4）？

Answer 1

本题实际就是要使函数的最大值与最小值之差小于8
所以要对t进行讨论求f(x)的最值
根据对称轴x=t<=0,x=t属于（0,4），x=t>=4分三种情况
其中第二种情况还要分（0,2）（2,4）是为了比较两个端点值以确定最大值。

Answer 2

|f(x1)-f(x2)|≤8意即在【0,4】区间最大值和最小值差值小于等于8,f(x)的对称轴是x=t，要求【0,4】区间最值要分开讨论：
(1)若t不属于【0,4】，则最值为其边界，即f(0)-f(4)差的绝对值要小于8，求得1<=t<=2,与t不属于【0,4】矛盾，即这种情况不存在
(2)t∈【0,2】,则最值为f(4)和f(t)，二者差的绝对值要小于等于8，再结合t∈【0,4】,求得t∈【4-2根号2,2】
(3)t∈【2,4】,则最值为f(0)和f(t)，二者差的绝对值要小于等于8，再结合t∈【0,4】,求得t∈【2，2根号2】
综上，t∈【4-2根号2,2根号2】