Question

已知函数f(x)=x^2-2ax+2在区间[0,2]上的最小值记为g(a)，最大值记为h(a)

求g(a),h(a)的表达式

Answer 1

对称轴为：
x=a
1,
当a<0时，函数f(x)在[0,2]上单调增；
g(a)=f(0)=2
h(a)=f(2)=6-4a
2
当0≤a＜1时，函数f(x)在[0,2]上先减后增，且减区间长度少于增区间长度，所以
g(a)=f(a)=a²-2a²+2=-a²
最大值是
h(a)=f(2)=6-4a
3
当1≤a<2是，函数f(x)在[0,2]上也是先减后增，但减区间长度多于增区间长度，所以
g(a)=f(a)= - a²
h(a)=f(0)=2
4
当2≤a时，函数f(x)在[0,2]上单调减；
g(a)=f(2)=6-4a
h(a)=f(0)=2
综合可知：(分开时，相同表达式有此就合并了）
, {2 (a<0)
g(a)={-a² (0≤a<2)
{6-4a (a≥2)

h(a)={6-4a (a<1)
{2 (a≥1)

Answer 2

f(x)=x^2-2ax+2的最小值为：当x=a时2-a^2

a在区间[0,2]上：g(a)=2-a^2
a=1时:h(a)=f(0)=f(2)=2

1<a<=2时:h(a)=f(0)=2

0<=a<1时:h(a)=f(2)=-4a+6

a>2时：g(a)=f(2)=-4a+6 h(a)=f(0)=2

a<0时：g(a)=f(0)=2 h(a)=f(2)=-4a+6