Question

设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式【f(x)-f(-x)】/x<0的解集为——

设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式【f(x)-f(-x)】/x<0的解集为——这个结果（-1，0）∪（0，1）那个（0，1）怎么得来的？

Answer 1

【f(x)-f(-x)】/x<0 由于是奇函数 可化简为f(x)/x<0

奇函数图像关于原点对称 如图假设

Answer 2

f(x)是奇函数
f(-x)=-f(x)
∴【f(x)-f(-x)】/x<0
可化为[f(x)+f(x)]/x<0
即f(x)/x<0
∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(1)=0
∴x∈(0,1), f(x)<0, f(x)/x<0符合
x∈(1,+∞),f(x)>0，f(x)/x>0不符合
根据f(x)是奇函数，图像关于原点对称
∴x∈(-∞,-1), f(x)<0,f(x)/x>0不符合
x∈(-1,0), f(x)>0，f(x)/x<0符合
因此 不等式【f(x)-f(-x)】/x<0的解集为
（-1，0）U(0,1)

Answer 3

f(1)=0,f(-1)=0, f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x),则2f(x)/x<0即x与f（x）异号，且是增函数则（0,1）内f（x）<0,在（-1,0），f(x)>0,故解集既有了（-1，0）∪（0，1）