Question

已知a∈R,函数f(x)=e^x+a|x-2|.

（1）当0＜a≤e时，若函数f(x)在区间［1,+∞)上的最小值为e+1，求a的值;
(2)设实数a使得关于x的不等式f(x)≥x在区间(-∞,2］上恒成立，求证：这样的实数a的取值集合为一个区间［a0,+∞),且-1/2<a0<0.

Answer 1

(1)解：当x∈[1，2)时，f(x)=e^x+a(2-x), 则f'(x)=e^x-a
∵ 0＜a≤e
∴ f'(x)≥f'(1)=e-a≥0
∴ f(x)在x∈[1，2)上递增，f(x)最小值=f(1)=e+a
　当x∈[2，+∞)时，f(x)=e^x+a(x-2)，则f'(x)=e^x+a
∵ 0＜a≤e
∴ f'(x)≥f'(2)=e²+a＞0
　 ∴ f(x)在x∈[2，+∞)上递增，f(x)最小值= f(2)=e²+a(2-2)=e²
　综上在x∈［1,+∞)上，f(x)最小值=f(1)=e+a=e+1，即有a=1.
(2)证：不等式f(x))=e^x+a|x-2|≥x在x∈(-∞,2]上恒成立
等价于e^x-x≥a(x-2)在x∈(-∞,2]上恒成立
当x=2时，不等式化为e²-2≥a(2-2)=0
即∀x∈R，不等式f(x)≥x恒成立，
当x∈(-∞,2)时，不等式可化为a≥(e^x-x)/(x-2)=[(e^x-2)/(x-2)]-1

设g(x)=[(e^x-2)/(x-2)]-1在x∈(-∞,2)内取得最大值a0，
记k=(e^x-2)/(x-2)，则k可以看作是定点A(2,2) 到函数y=e^x，
x∈(-∞,2)上的点P(x,e^x)的连线的斜率，由几何意义知，当直线AP
与曲线y=e^x，x∈(-∞,2)相切时k取最大值，切点记为(x0,e^x0),
则a0=g(x0)=[(e^x0-2)/(x0-2)]-1
∵ y'=e^x，由导数的几何意义，e^x0=(e^x0-2)/(x0-2)
即x0e^x0-3e^x0+2=0
设h(x)=xe^x-3e^x+2,则h'(x)=xe^x-2e^x=(x-2)e^x＜0，x∈(-∞,2)
∴ h(x)在x∈(-∞,2)内连续且单调递减
又∵ h(0)=0·e^0-3e^0+2=-1＜0，
h(-ln2)=(-ln2)e^(-ln2)-3e^(-ln2)+2=(1-ln2)/2＜0
∴ 由根的存在性定理，x0∈(-ln2,0)，e^x0∈(1/2,1)
a0=g(x0)=[(e^x0-2)/(x0-2)]-1=e^x0-1∈(-1/2,0)
综上可知，符合题设的a的取值范围为a∈［a0,+∞),且-1/2＜a0＜0。
ps：希望“雨的眼泪陈”同学仔细检查，看有无漏洞，不足之处请指正，可追问！