Question

[(a的x次方+b的x次方)/2]的1/x次方 当x趋近0时的极限。请写过程。

Answer 1

((a^x+b^x)/2)^(1/x)
=(1+(a^x+b^x-2)/2)^(2/(a^x+b^x-2))*(1/x)*(a^x+b^x-2)/2
底数(1+(a^x+b^x-2)/2)^(2/(a^x+b^x-2)趋于e，
指数(a^x+b^x-2)/(2x),由罗必达法则，趋于
(lna+lnb)/2, 极限为(ab)^(1/2)

Answer 2

先求其对数的极限，对数是ln[(a^x+b^x)/2]/x，其中ln[(a^x+b^x)/2]等价于(a^x+b^x)/2-1。
极限lim (a^x-1)/x=lna，lim (b^x-1)/x=lnb，用洛必达法则或者重要极限皆可做。
所以，对数的极限是ln(√(ab))。所以原极限是√(ab)。