Question

对角矩阵的可交换矩阵也一定是对角矩阵，这个命题如何证明？（该对角矩阵中主对角线上的元两两不同）。...

对角矩阵的可交换矩阵也一定是对角矩阵，这个命题如何证明？（该对角矩阵中主对角线上的元两两不同）。
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谢谢老师！

Answer 1

设A为对角矩阵，对角线上的元素为ai,i=1,2,...,n
设B=(bij)n*n是和A可交换的矩阵。（这里显然B和A是同型的方阵）

AB的第i行第j列的元素为：aibij
BA的第i行第j列的元素为：bijaj

因为AB=BA
所以aibij=bijaj
又因为当i不等于j时，ai不等于aj
故bij=0

故B是个对角矩阵。