Question

罗尔定理证明

设函数f ( x)在有限区间( a, b)内可导,
且lim f ( x) = limf ( x) ,则在( a, b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ) = 0。
x→a+ x→b -
证明：作辅助函数F ( x) = f ( x) , x∈ ( a, b)
A, x = a或b,
然后用罗尔定理证明。
问一下为什么可以这样设辅助函数，这样不就说明函数是在[a, b] 上是连续函数了么，可是题目中没有这样说明啊，为什么不要分类讨论一下，谁能帮忙解答一下啊

Answer 1

我们考虑的ξ是在( a, b)内，因此定义端点的函数值对结论无影响。

设lim （x→a+）f ( x) = lim（x→b -）f ( x) =A，
定义函数F(X)：F ( x) = f ( x) , x∈ ( a, b)
A, x = a或b,
那么函数F(x)在闭区间[a, b] 上连续，在开区间可导，由罗尔定理，在( a, b)内至少存在一点ξ,使得F′(ξ) = 0，即：f′(ξ) = 0。

追问

我就是想问怎么得出定义端点的函数值对结论无影响，麻烦啦

追答

我们所要证明的是：ξ是在( a, b)内。这与端点无关，因此不管端点取什么值，与ξ没有关系。

于是你可以任意地定义端点的函数值，构造一个新的函数。
但定义这样多的端点的数值，也不是盲目地乱来，
比如你定义函数F(X)：F ( x) = f ( x) , x∈ ( a, b)
A+1, x = a或b,
那你就不能用罗尔定理，因为此时在闭区间[a, b] 上不连续。
要证明其结论，刚好可以选取函数上面的函数F(x)。

追问

谢谢，其实还是F ( x)等于多少与最后的结论没有关系，所以可以随便定义，F ( x)=A刚好可以用ROLL定理；

Answer 2

由题目的条件，f(x)实际上就是[a,b]上的连续函数，也就是说，
题目的条件保证了Rolle定理的条件是满足的。
更准确的说法：这个命题实际上就是Rolle定理，不能称为
Rolle定理的推广。它与Rolle定理就是同一回事，用了不同的说法而已。

追问

题目的条件只能推出f(x)在(a,b)上连续，端点是否连续不能确定啊

追答

题目的条件本质上是f(x)在[a,b]上连续，只不过换了个说法而已。
换了什么说法：就是直接用定义说了。
我们知道，极限值等于函数值的点时连续点。
现在f(x)在端点不知道是否连续，没关系，题目条件说了极限值存在啊，
那我们就不管你原来的端点是什么了，就用极限值定义为端点的函数值。
这样新定义的函数可能与原来的函数在端点的函数值不同，但这没有关系，
因为最后我们的结论不是关于端点的，是内部的，而在内部函数根本没有
任何变化，因此新函数在内部的任意的结论都是原来的函数f(x)的结论。