Question

周期函数的定积分的一个性质实在不明白

定理3.7 假定函数f(x)以T为周期，即对于任意实数x有f（x＋T）＝f（x)在[0,T]上可积，那么
（1）∫上限a+T，下限a的 f（x）＝∫上限T下限o的f（x）dx（这一个理解）
（2）∫上限x下限0的f（t）dt以T为周期的充要条件是∫上限T下限0的f（t）dt=0 （就是这个，完全不明白，不明白的原因是，为什么定积分0，定积分是面积的代数和，那很难得到定积分等于0啊，就算是任意一个周期函数列如y＝sinx+5 这样怎么可能定积分是0呢？真心不理解跪求解释！）
（3）设连续函数f（x）以T为周期，则f（x）的全体原函数以T为周期的充要条件是∫上限T下限0的f（t）dt=0（这个也不理解，怎么就等于0了！！哭）
跪求详解。
我分不多实在没得悬赏，但是真心跪求解答，拜托高数大神了。

Answer 1

首先这个结论是可证出来的：
设g(x)=∫[0→x] f(t) dt
若g(x)是以T为周期的函数，则g(x)=g(x+T)
得：∫[0→x] f(t) dt=∫[0→x+T] f(t) dt
注意右边=∫[0→x] f(t) dt + ∫[x→x+T] f(t) dt
由（1）得：∫[x→x+T] f(t) dt = ∫[0→T] f(t) dt
右边=∫[0→x] f(t) dt + ∫[0→T] f(t) dt = f(t) + ∫[0→T] f(t) dt
这样我们看到，左边与右边相比，右边多出一个∫[0→T] f(t) dt，因此两要想相等，只有
∫[0→T] f(t) dt=0

面积的代数和有可能会为0的，那就是必须x轴上方和下方都要有。
g(x)=∫[0→x] f(t) dt是对f(t)的一个面积累加，你想累加到最后居然函数值重复出现了，说明这个累加没有增加面积，也就是说累加了一个面积为0的东西。

Answer 2

定积分来源于求面积，但不限于求面积。
这个定理中可没有说函数f(x)是非负函数，一般的函数的定积分当然可能等于0了，
就比如你说的sinx，在[0,2pi]的积分就是0。
定理的内容说的是周期函数f(x)的原函数不一定是周期函数，
其原函数要想是周期函数，对f(x)必须有一定的要求。
这个要求就是周期函数f(x)在一个周期上的积分必须是0。
其实从定积分的计算很容易看出，因为此时必有
F(T)-F(0)=积分(从0到T)f(x)dx。
F(x)要想是周期的，必有F(T)=F(0)，因此
上式就是要求f(x)在一个周期上的积分必须是0才可以。

Answer 3

（2）∫(0,x)f(t)dt以T为周期的充要条件是∫(0,T)f(t)dt=0
你理解错了，这是指函数F(x）=∫(0,x)f(t)dt 也以T为周期
∫(0,x+T)f(t)dt=∫(0,x)f(t)dt+∫(x,x+T)f(t)dt
=∫(0,x)f(t)dt+∫(0,T)f(t)dt，因为T是∫(0,x)f(t)dt的周期，故：∫(0,T)f(t)dt=0
反之是一样证明。
(3)本质上与(2)是一样的，因为f（x）连续，故∫(0,x)f(t)dt就是f（x）的一个原函数，全体原函数与它相差一个常数罢了。