Question

高中数学. 解析几何. 在线等.

过点P（3，1）的直线L被两条平行直线L1:X+2Y-1=0,L2:X+2Y-3=0,所接的的线段中点E在直线L3:X-Y-1=0上，求直线L的方程

详细过程。谢

Answer 1

解：
引理1：到直线Ax+By+C1=0和直线Ax+By+C2=0距离相等的点构成的直线的方程为Ax+By+(C1+C2)/2=0
引理2：过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0的交点的所有直线的方程可写为λ(A1x+B1y+C1)+μ(A2x+B2y+C2)=0
有引理1和题目所给的直线方程，点E在直线L4：x+2y-2=0上，注意到E是直线L3与直线L4的交点，由引理2，过点E的直线可写为λ(x-y-1)+μ(x+2y-2)=0，由于L过点P(3,1)，代入上式得λ+3μ=0，取λ=3，μ=-1，可满足条件，代入λ(x-y-1)+μ(x+2y-2)=0，得3(x-y-1)-(x+2y-2)=0，化简得2x-5y-1=0，即所求的直线L的方程。