高中数学. 解析几何. 在线等.
过点P(3,1)的直线L被两条平行直线L1:X+2Y-1=0,L2:X+2Y-3=0,所接的的线段中点E在直线L3:X-Y-1=0上,求直线L的方程详细过程。谢...
过点P(3,1)的直线L被两条平行直线L1:X+2Y-1=0,L2:X+2Y-3=0,所接的的线段中点E在直线L3:X-Y-1=0上,求直线L的方程
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解:
引理1:到直线Ax+By+C1=0和直线Ax+By+C2=0距离相等的点构成的直线的方程为Ax+By+(C1+C2)/2=0
引理2:过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0的交点的所有直线的方程可写为λ(A1x+B1y+C1)+μ(A2x+B2y+C2)=0
有引理1和题目所给的直线方程,点E在直线L4:x+2y-2=0上,注意到E是直线L3与直线L4的交点,由引理2,过点E的直线可写为λ(x-y-1)+μ(x+2y-2)=0,由于L过点P(3,1),代入上式得λ+3μ=0,取λ=3,μ=-1,可满足条件,代入λ(x-y-1)+μ(x+2y-2)=0,得3(x-y-1)-(x+2y-2)=0,化简得2x-5y-1=0,即所求的直线L的方程。
引理1:到直线Ax+By+C1=0和直线Ax+By+C2=0距离相等的点构成的直线的方程为Ax+By+(C1+C2)/2=0
引理2:过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0的交点的所有直线的方程可写为λ(A1x+B1y+C1)+μ(A2x+B2y+C2)=0
有引理1和题目所给的直线方程,点E在直线L4:x+2y-2=0上,注意到E是直线L3与直线L4的交点,由引理2,过点E的直线可写为λ(x-y-1)+μ(x+2y-2)=0,由于L过点P(3,1),代入上式得λ+3μ=0,取λ=3,μ=-1,可满足条件,代入λ(x-y-1)+μ(x+2y-2)=0,得3(x-y-1)-(x+2y-2)=0,化简得2x-5y-1=0,即所求的直线L的方程。
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