Question

用极限的定义证明，limxn=a,则limxn+1=a

Answer 1

lim xn=a

根据定义，任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|xn-a|<ε

现在考虑|x(n+1)-a|

直接取N=N1

当n>N1时，就有n+1>N1+1>N1，立即有|x(n+1)-a|<ε

因此，

任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|x(n+1)-a|<ε

根据定义，lim x(n+1)=a

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

lim xn=a
根据定义，
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|xn-a|<ε
现在考虑|x(n+1)-a|
直接取N=N1
当n>N1时，就有n+1>N1+1>N1，立即有|x(n+1)-a|<ε
因此，
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|x(n+1)-a|<ε
根据定义，
lim x(n+1)=a
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