Question

在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，

在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．（1）如图1，若点P在BC边上，∥此时PD=0，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）

Answer 1

解：图2结论：PD+PE+PF=AB．

证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF是平行四边形，四边形BDPM是平行四边形，
∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，
∵AB=AC，
∴∠EMP=∠B，
∴∠EMP=∠EPM，
∴PE=EM，
∴PE+PF=AE+EM=AM．
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴MB=PD．
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，
即PD+PE+PF=AB．
图3结论：PE+PF-PD=AB．

Answer 2

成立. P在ΔABC内
过D作DG‖AB交AB与点G，由已知可得AEPF，AGDF，EGDP均为平行四边形
所以PE=GD PF=AE PD=GE
有因为BDG为等腰三角形，所以DG=BG 即BG=PE
所以AB=AE+EG+GB=PF+PD+PE

P在ΔABC外时
AB=PE+PD-PF 证法一样

Answer 3

解：（1）结论是PD+PE+PF=AB，
证明：过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，：
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠C=∠B=∠AMN，
∵PE∥AC，
∴∠EPM=∠FNP，
∴∠AMN=∠FPN，
∴∠EPM=∠EMP，
∴PE=ME，
∵AE+ME=AM，
∴PE+PF=AM，
∵MN∥CB，DF∥AB，
∴四边形BDPM是平行四边形，
∴MB=PD，
∴PD+PE+PF=AM+MB=AB

Answer 4

(1) PE+PD+PF=AB
∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵PE∥AC，PF∥AB ∴∠BEP=∠PFC
∴∠EPB=∠FPC 所以 ∠B=∠EPB=∠FPC=∠C ∴EB=EP 又 PF=EA
∴ PE+PD+PF=AB
（2）思路同一
（）思路同一

Answer 5

解：（1）结论是PD+PE+PF=AB，
证明：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PE∥AC，
∴∠EPB=∠C，
∴∠B=∠EPB，
∴PE=BE，
∵AE+BE=AB，
∴PE+PF=AB，

∵PD=0，
∴PD+PE+PF=AB．

（2）结论是PD+PE+PF=AB，
证明：过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，
由（1）得：PE+PF=AM，
∵四边形BDPM是平行四边形，
∵MB=PD，
∴PD+PE+PF=AM+MB=AB．
（3）结论是PE+PF-PD=AB．